Cavità risonanti

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Che cosa sono

Idealmente una cavità risonante non è altro che uno spazio chiuso. Al suo interno vengono prodotte onde di qualche tipo, e le pareti che delimitano la cavità sono tali da riflettere completamente le onde, che, pertanto, rimangono completamente intrappolate all'interno.

Esempi:

  • cavità acustiche (risuonatori di Helmholtz)
  • il porto
  • cavità ottiche: il laser
  • cavità ottiche: il condensato di Bose-Einstein
  • cavità per microonde: il forno a microonde
  • la parte libera di una bottiglia non del tutto piena


Perché mi interessano?

  • Tutti gli ambienti chiusi sono cavità risonanti per le onde sonore. Comprenderne il funzionamento significa poter progettare ambienti con una buona acustica architettonica.
  • Le cavità risonanti fanno parte di quasi tutti gli strumenti musicali. Le proprietà della cavità contribuiscono alla voce dello strumento, cioè al suo timbro.

Come funzionano

  1. All'interno della cavità risonante le onde possono muoversi liberamente. Quando raggiungono una parete sono riflesse.
  2. Dopo un certo tempo (detto transitorio) la sovrapposizione di tutte le onde riflesse può generare un campo stazionario (vedi Onde stazionarie). Se questo accade l'energia contenuta nella cavità smette di muoversi, e si concentra in particolari posizioni fisse (dette antinodi).
  3. La creazione del campo stazionario non avviene sempre, ma solo quando le onde contenute nella cavità hanno particolari frequenze, dette frequenze di risonanza della cavità.
  4. Le frequenze di risonanza dipendono dalle dimensioni della cavità.

Frequenze di risonanza

Tutto ciò che dobbiamo fare per calcolare i modi della cavità è imporre che determinate grandezze fisiche caratterizzanti le onde assumano ben precisi valori in corrispondenza della parete della cavità. Tecnicamente si dice che le frequenze di risonanza sono determinate da condizioni al contorno. Ad esempio nel caso delle onde sonore le onde di pressione nell'aria (o nel fluido contenuto nella cavità) sono longitudinali.

  • Se ci riferiamo allo spostamento ξ delle molecole del fluido come quantità che definisce l'onda (e il campo sonoro), allora le condizioni al contorno sono le seguenti: lo spostamento del fluido deve essere nullo su tutte le pareti, perché il fluido non può passare attraverso le pareti (l'aria non può uscire dalla cavità ideale).
  • Se invece consideriamo la pressione p anziché lo spostamento ξ per descrivere l'onda la condizione al contorno è differente: la pressione alle pareti è massima (antinodo). Infatti all'interno della scatola una compressione in un certo punto avviene sempre "contro altra aria", e perciò è senz'altro minore di quella che avviene "contro la parete rigida".

In entrambi i casi però il risultato è lo stesso, perché ciò che conta non è la natura della grandezza prescelta per descrivere il campo, ma solo la dimensione della scatola.

La ricerca delle frequenze di risonanza è semplice se la cavità ha una forma molto regolare. Nella tabella seguente illustriamo le condizioni per una cavità avente la forma di un parallelipedo.

l m n \omega in unità {\frac  {\pi }{c}}
1 0 0 {\frac  {1}{A}}
0 1 0 {\frac  {1}{B}}
0 0 1 {\frac  {1}{C}}
1 1 0 {\sqrt  {{\frac  {1}{A^{2}}}+{\frac  {1}{B^{2}}}}}
1 0 1 {\sqrt  {{\frac  {1}{A^{2}}}+{\frac  {1}{C^{2}}}}}
0 1 1 {\sqrt  {{\frac  {1}{B^{2}}}+{\frac  {1}{C^{2}}}}}
2 0 0 {\frac  {4}{A}}
... ... ... ...
Diciamo A, B, C le dimensioni della cavità nelle direzioni x, y e z.

L'onda stazionaria ha la forma

\xi (x,y,z)=\xi _{0}\sin(k_{x}x)\sin(k_{y}y)\sin(k_{z}z)\cos(\omega t)\!,

perciò le condizioni al contorno sono le seguenti:

k_{x}={\frac  {l\pi }{A}}\quad l=1,2,\ldots ,
k_{y}={\frac  {m\pi }{B}}\quad m=1,2,\ldots ,
k_{z}={\frac  {n\pi }{C}}\quad n=1,2,\ldots .

Si tratta di tre condizioni indipendenti perché, per il principio di sovrapposizione il campo all'interno della cavità è dato dalla somma delle onde stazionarie che si formano nelle tre direzioni.

Ciascuna condizione è caratterizzata da un numero intero.

Il modo di vibrazione complessivo della cavità è perciò caratterizzato dall'insieme dei tre numeri. Variando i tre numeri uno alla volta e ricordando che \omega =ck=c{\sqrt  {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}} possiamo costruire la tabella di tutte le possibili frequenze di risonanza.

Ovviamente, se la scatola ha particolari simmetrie, le frequenze di diversi modi possono coincidere. P. es. nel caso di un parallelepipedo a base quadrata, è A=B, e i primi due modi della tabella hanno la stessa frequenza. Nel caso di un cubo i primi tre, ecc.

Ad esempio volendo amplificare il suono di un diapason, lo si monta su di uno scatola che "risuona" proprio alla frequenza generata dal diapason. Riformulando le condizioni al contorno in funzione della lunghezza d'onda (occorre a tal scopo ricordare che k_{x}={\frac  {2\pi }{\lambda _{x}}}), si ottiene:

\lambda _{x}={\frac  {2A}{l}}\quad l=1,2,\ldots ,
\lambda _{y}={\frac  {2B}{m}}\quad m=1,2,\ldots ,
\lambda _{z}={\frac  {2A}{n}}\quad n=1,2,\ldots .

Dalle relazioni appena ricavate si vede che più la nota generata dal diapason è grave (cioè maggiore è la sua lunghezza d'onda), maggiore deve essere la dimensione della cavità risonante.

Gli strumenti musicali hanno, volutamente, casse armoniche di forma irregolare (si pensi agli strumenti a corde): ciò allo scopo di arricchire lo strumento di un gran numero di risonanze e di impedire che la cassa armonica amplifichi, entrando in risonanza , solo certe frequenze. Se ti interessa approfondire questo aspetto visita la pagina relativa alla percezione del timbro e alla fisica degli strumenti musicali

Numero dei modi

L'analisi delle frequenze di risonanza effettuata nel paragrafo precedente può essere riassunta in un grafico in cui si mostra il numero di modi possibili per ciascuna frequenza. Questo grafico mostra visivamente come sono distribuite le risonanze del sistema nello spazio delle frequenze, e dà importanti indicazioni, ad esempio, sulla qualità acustica degli ambienti.

Esaminiamo ad esempio il caso di tre stanze di pari volume (50 m3), al variare dei rapporti tra le dimensioni dei lati.

tutti i lati diversi due lati uguali tre lati uguali
DOS 1.png DOS 2.png DOS 3.png
La sequenza dei picchi di risonanza forma una distribuzione abbastanza continua. I picchi sono tutti molto vicini e abbastanza omogeneamente distribuiti La distribuzione è ancora relativamente omogenea, ma i picchi sono più alti che nel caso a sinistra, e compaiono tra di essi dei piccoli spazi Gli spazi tra i picchi si allargano, creando delle forti risonanze in corrispondenza di alcune frequenze, separate da larghe bande di frequenza non risonanti

Non ci si lasci ingannare dall'apparente somiglianza dei grafici. Spostandosi da sinistra verso destra aumenta la simmetria della stanza (un parallelepipedo a sinistra, un parallelepipedo a base quadrata al centro, un cubo a destra). Questo significa che aumenta progressivamente il numero di modi possibili per ogni frequenza di risonanza (si veda la discussione al paragrafo precedente). In altre parole, i possibili modi risonanti, anziché distribuirsi in modo omogeneo su molte frequenze, tendono ad accumularsi su un numero minore di frequenze, creando però risonanze più forti. Dal punto di vista dell'acustica della stanza ciò è male. Una stanza con una risposta pressoché uniforme restituirà tutte le frequenze di un suono all'incirca con la stessa intensità, mentre una stanza con forti risonanze separate da bande non risonanti tenderà a filtrare il suono, restituendo prevalentemente le componenti in risonanza ed attenuando le altre.

Da questo semplice esempio si deduce che la geometria ideale per una buona risonanza in una stanza a forma di parallelepipedo è quella meno simmetrica. Spingendo oltre l'argomento, possiamo dire che le risonanze possono essere rese ancora più omogenee rendendo la stanza di forma ancora più irregolare, anche se, in questo caso, il calcolo del numero degli stati non è così semplice.

Ovviamente l'esame delle risonanze non esaurisce l'analisi delle proprietà acustiche di un ambiente, che sono anche caratterizzate da altri parametri. Per questo si rimanda alla sezione acustica architettonica.

Cavità per onde elettromagnetiche

In questo caso bisogna prendere in considerazione la diversa natura "vettoriale" delle onde, la loro proprietà di contenere sia variazioni di campo elettrico, sia di campo magnetico, e la polarizzazione.

Approfondimenti e collegamenti

  • Se vuoi vedere una serie di esperimenti concernenti le cavità risonanti non puoi non visitare il nostro laboratorio virtuale sulle onde. In questa pagina troverai una serie di percorsi guidati per condurre esperimenti virtuali che ti aiuteranno a comprendere la formazione delle onde stazionarie, le risonanza acustiche e l'azione filtrante delle cavità risonanti.

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