Aspetti matematici dell'interferenza

Da "Fisica, onde Musica": un sito web su fisica delle onde e del suono, acustica degli strumenti musicali, scale musicali, armonia e musica.

Condizioni generali per l'interefrenza di sorgenti in fase

Interferenza costruttiva tra sorgenti puntiformi

Immaginiamo di avere due sorgenti puntiformi S_{1} e S_{2}che emettano onde periodiche della stessa ampiezza, frequenza e fase.

Tali onde si propagano nello spazio circostante le sorgenti e, quando arrivano nel medesimo punto P, si sovrappongono interferendo. Ci chiediamo sotto quali condizioni il punto P è un punto di interferenza (totalmente) costruttiva. È facile comprendere che ciò accade quando due "massimi", per così dire, arrivano nel punto P nel medesimo istante.

Calcolo interferenza costruttiva.png

Tale condizione si verifica quando

  • (in termini di tempo) detti t_{1} e t_{2} i tempi necessari all'onda per percorrere lo spazio che separa P da S_{1} e S_{2}, la differenza tra tali tempi è un multiplo del periodo T dell'onda, cioè:
\left|t_{1}-t_{2}\right|=k\cdot T con k=0,1,2,\ldots (1)
  • (in termini di spazio) se la differenza dei cammini è un multiplo pari della mezza lunghezza d'onda
\left|\overline {S_{1}P}-\overline {S_{2}P}\right|=2k\cdot {\frac  {\lambda }{2}} (2)

con k=0,1,2,\ldots


L'equazione (2) può essere facilmente dedotta dall'equazione (1) ma richiede un'ipotesi aggiuntiva: la velocità di propagazione dell'onda deve essere costante. Sotto tali condizioni, moltiplicando l'equazione (1) per la velocità dell'onda v si ottiene

v\cdot \left|t_{1}-t_{2}\right|=k\cdot v\cdot T
\left|v\cdot t_{1}-v\cdot t_{2}\right|=k\cdot v\cdot T

che è proprio la (2) essendo

v\cdot t_{1}=\overline {S_{1}P}
v\cdot t_{2}=\overline {S_{2}P}
v\cdot T=\lambda

L'ipotesi aggiuntiva sulla costanza della velocità di propagazione può non essere verificata se, per raggiungere il punto P, l'onda deve attraversare mezzi differenti. Se questo accade infatti,come sappiamo dal fenomeno della rifrazione, la velocità dell'onda varia. In tali casi la condizione di interferenza costruttiva deve essere ottenuta solo in termini dell'equazione (1) o ricorrendo, come vedremo, al concetto di cammino ottico

Nei punti in cui avviene un'interferenza costruttiva

  • l'ampiezza dell'oscillazione raddoppia rispetto all'ampiezza delle oscillazioni generate dalle due sorgenti;
  • la frequenza dell'oscillazione rimane invece la medesima;

È interessante osservare che, a seconda della frequenza e tipo di onde che subiscono l'effetto "costruttivo", si hanno interessanti ripercussioni su ciò che effettivamente viene percepito da un osservatore posto nel punto P:

  • nel caso della luce monocromatica (cioè costituita da elettromagnetiche della medesima frequenza) si osserva un rinforzo dell'intensità della luce (legata all'ampiezza dell'oscillazione) senza nessuna variazione di "colore" (legato alla frequenza). Data l'elevata frequenza delle oscillazioni "luminose" che hanno un periodo ben inferiore al tempo di persistenza dell'immagine sulla retina, nel punto non si riesce a percepire l'alternanza di luce e buio (che si ha nel momento in cui l'ampiezza dell'onda vale zero), ma si osserva una luminosità continua;
  • nel caso del suono si sente un rinforzo dell'intensità del suono (legata all'ampiezza dell'oscillazione) senza che sia variata l'altezza (legata alla frequenza). Anche in questo caso le frequenze dei suoni udibili sono tali da non permettere all'orecchio di percepire l'alternanza di suono e di silenzio (quando l'ampiezza dell'onda vale zero).
  • nel caso delle "onde del mare" la bassa frequenza di oscillazione permette di osservare l'oscillazione con ampiezza rinforzata con un effetto "onda su onda" (per dirla alla Paolo Conte).

Interferenza distruttiva tra sorgenti puntiformi

Immaginiamo ancora di avere due sorgenti puntiformi S_{1} e S_{2}che emettano onde periodiche della stessa ampiezza, frequenza e fase.

Ci chiediamo ora sotto quali condizioni il punto P è un punto di interferenza (totalmente) distruttiva. È facile comprendere che ciò accade quando nel punto arrivano simultaneamente un massimo e un minimo che sommandosi si elidono.

Calcolo interferenza distruttiva.png

Tale condizione si verifica quando

  • (in termini di tempo) detti t_{1} e t_{2} i tempi necessari all'onda per percorrere lo spazio che separa P da S_{1} e S_{2}, la differenza tra tali tempi è un multiplo dispari del semi-periodo T/2 dell'onda, cioè:
\left|t_{1}-t_{2}\right|=(2k+1)\cdot {\frac  {T}{2}} (1*)

con k=0,1,2,\ldots

  • (in termini di spazio) se la differenza dei cammini è un multiplo dispari della mezza lunghezza d'onda
\left|\overline {S_{1}P}-\overline {S_{2}P}\right|=(2k+1)\cdot {\frac  {\lambda }{2}} (2*)

con k=0,1,2,\ldots

Anche in questo caso l'equazione (2*) può essere dedotta dall'equazione (1*) solo nell'ipotesi che la velocità di propagazione dell'onda sia costante.

È interessante osservare che l'effetto "distruttivo" cancella completamente l'oscillazione nel punto P. Le ripercussioni su ciò che si percepisce un osservatore posto nel punto P sono evidenti (ma non per questo meno sorprendenti):

  • nel caso della luce monocromatica (cioè costituita da onde elettromagnetiche della medesima frequenza) si osserva, nel punto P, buio completo.
  • nel caso dell'suono nel punto P, vi è silenzio;
  • nel caso delle onde del mare una boa posta nel punto P rimarrebbe, al passaggio delle due onde, del tutto immobile.

Condizioni generali di interferenza per sorgenti puntiformi sfasate

Immaginiamo ora di avere due sorgenti puntiformi S_{1} e S_{2} che emettano onde periodiche della stessa ampiezza, frequenza ma in modo non sincronizzato. Si assuma ad esempio che la sorgente S_{2} riproduca l'oscillazione della sorgente S_{1} con un certo tempo di sfasamento che indicheremo con t_{s}. Assumeremo

t_{s}>0\! se la sorgente S_{2} oscilla in ritardo rispetto a S_{1}
t_{s}<0\! se la sorgente S_{2} oscilla in anticipo rispetto a S_{1}


Se ora ci chiediamo sotto quali condizioni il punto P è un punto di interferenza costruttiva è facile comprendere che la condizione (1) deve essere modificata per tener conto del tempo di sfasamento della sorgente S_{2}. Il tempo t_{2} necessario all'onda per percorrere lo spazio che separa P da S_{2} deve ora essere variato di t_{s} (aumentato o diminuito a seconda che l'oscillazione di S_{2} sia in ritardo o in atnticipo)

L'equazione (1) diventa quindi:

\left|t_{1}-(t_{2}+t_{s})\right|=(2k+1)\cdot {\frac  {T}{2}} con k=0,1,2,\ldots (1**)

L'equazione (2) diventa di conseguenza (sempre nell'ipotesi di costanza della velocità di propagazione delle onde):

\left|\overline {S_{1}P}-(\overline {S_{2}P}+v\cdot t_{s})\right|=k\cdot \lambda con k=0,1,2,\ldots (2**)

Il concetto di cammino ottico

Vogliamo affrontare ora la seguente questione: come cambiano le condizioni di interferenza se nel percorso dalla sorgenti S_{1} e S_{2} al punto P l'onda cambia la sua velocità di propagazione? Una situazione tipica è ad esempio quello della luce che, prima di raggiungere il punto P potrebbe dover passare attraverso lenti, acqua, ecc... Affrontiamo la questione nel caso semplice di sorgenti S_{1} e S_{2} identiche ed in fase secondo la geometria illustrata in figura.

Nel determinare la condizione di interferenza costruttiva occorre ora tener conto di due fatti:

  • l'onda generata da S_{2} viaggia nel mezzo 2 con velocità v/n dove n è l'indice di rifrazione del mezzo 2;
  • a causa del fenomeno della rifrazione il cammino del raggio d'onda non è più rettilineo ma è rappresentato dalla spezzata \overline {S_{2}QP}

Il tempo {\tilde  {t_{2}}} affinché l'onda generata da S_{2} arrivi al punto P è ora dato da:

{\tilde  {t_{2}}}={\frac  {\overline {S_{2}Q}}{v/n}}+{\frac  {\overline {QP}}{v}}.

Calcolo interferenza 2 mezzi.png

La condizione di interferenza costruttiva assume la forma

  • in termini di tempo
\left|t_{1}-{\tilde  {t_{2}}}\right|=k\cdot T con k=0,1,2,\ldots (1***)
  • in termini di spazio (moltiplicando la (1***) per v
\left|\overline {S_{1}P}-{\mathcal  {S}}_{2}{\mathcal  {P}}\right|=2k\cdot \lambda con k=0,1,2,\ldots (2***)

ove si è definito

{{\mathcal  {S}}_{2}{\mathcal  {P}}}=n\cdot \overline {S_{2}Q}+\overline {QP}

La lunghezza {{\mathcal  {S}}_{2}{\mathcal  {P}}} viene detta cammino ottico dell'onda. Si osservi che essa non coincide più con la lunghezza della spezzata {\overline {S_{2}PQ}}. Il suo significato fisico è però chiarissimo: essa rappresenta la distanza che l'onda percorrerebbe nel tempo {\tilde  {t_{2}}} se viaggiasse sempre alla velocità v. Il cammino ottico si ottiene dalla distanza geometrica "amplificando" di un fattore n quei tratti del cammino effettivo (la spezzata {\overline {S_{2}PQ}}) che l'onda percorre a velocità v/n.

Laboratorio virtuale: esperimenti di interferenza

Se sei interessato a visualizzare fenomeni di interferenza collegati al nostro laboratorio virtuale Onde 2D. Ti proponiamo di seguito una serie di esperienze guidate, ma puoi benissimo sperimentare nuove configurazioni e nuovi esperimenti. L'applet è molto intuitivo; per una corretta comprensione di quello che osservi, tieni solo presente che le zone colorate rappresentano l'ampiezza dell'oscillazione. Tanto più brillante appare il colore, maggiore è l'ampiezza delle oscillazioni (verde per le cime, rosso per le valli). Ovviamente le zone di buio rappresentano assenza di oscillazione causata dall'interferenza distruttiva.

Esperienze proposte:


Approfondimenti e collegamenti

  • Un caso particolarmente importante di interferenza è quello delle onde armoniche. Le condizioni generali di interferenza assumono in tale caso una veste matematica molto più semplice. Nella pagina interferenza di onde armoniche la questione è affrontata nella sua generalità.
  • Alla pagina antenne e interferenza è possibile osservare alcune animazioni per illustrare come l'interferenza di più sorgenti di onde sferiche possa generare sorgenti efficaci complesse di interesse pratico nelle telecomunicazioni.
  • Puoi utilizzare l'Applet Onde 2D per visualizzare interattivamente i fenomeni descritti in questa pagina

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